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典型试题

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2013年高考数学模拟试卷

作者: 来源: 发布时间:2013年06月28日 点击数:

第Ⅰ部分  必做题

满分160分,答卷时间120分钟

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在相应位置上.

1. 是虚数单位),则乘积的值是   -3      .

2. 已知全集,集合,则

 {1} 

3. 若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有123456个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为4的概率是    

4. 超速行驶已成为马路上最大杀手之一,已知某中段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否则视为违规。某天,有1000辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示,则违规的汽车大约为_110__辆.

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5给出一个算法:

   Read    x

   If  

       

  

     

 

   

 根据以上算法,可求得     0       .

6. 设实数满足 的取值范围是          

7函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的最大值为       高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。          

8. 设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的值为__学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!_____.

9. 已知正四棱锥说明: 志鸿教育 中,说明: 志鸿教育 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 2 .

10. 设实数说明: 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,若不等式说明: 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。对任意说明: 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。都成立,则说明: 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的最小值为     高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。     .

11. 若直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!是曲线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的切线,则实数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的值为         .                 

12.已知双曲线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!分别是双曲线虚轴的上、下端点,学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!分别是双曲线左顶点和坐焦点,若双曲线的离心率为2,则学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!夹角的余弦值为  学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!    

13. 在平面直角坐标系xOy中,已知直线xy60与圆(x)2(y1)22交于AB两点,则直线OA与直线OB的倾斜角之和为______60°______

14. 已知关于x的函数y(tR)的定义域为D,存在区间[ab]Df(x)的值域也是[ab].当t变化时,ba的最大值为___ ________

二:解答题(共6大题,共计90分)

15.(本小题满分14分)在△ABC中,A,B,C分别为a,b,c边所对的角,且

的值;

a =2,求ABC的面积S的最大值.

解:= +cos2A

=                           

  ,

,

,      

.当且仅当b=c时,取得最大值,所以当b= c时,ABC的面积S的最大值为3

16. 本小题满分14分)如图.在四棱锥PABCD中,底面ABCD说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!是正方形,侧棱PD⊥底    ABCD, PD = DC = 2EPC的中点.

1证明:PA//平面EDB

2)证明:平面PAC⊥平面PDB

3求三梭锥DECB的体积.

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16.

1)证明:设说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,连结说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!

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所以说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!平面说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!                                  

2)证明:说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!底面说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!是正方形

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3说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!                   

故作说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!

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image description                17.(本题满分14分)要制作一个如图的框架(单位:m),要求所围成的总面积为19.5(m2),其中ABCD是一个矩形,EFCD是一个等腰梯形,梯形高hABtanFED,设ABx mBCy m.

(1) y关于x的表达式;

(2) 如何设计xy的长度,才能使所用材料最少?

17. 解:(1) 如图,在等腰梯形CDEF中,DH是高.

依题意:DHABxEH×xx(3)

xyxxyx2

yx.(6)

x0y0

x0,解之得0x.

所求表达式为yx.(7)

(2) RtDEH中, tanFED sinFED

DEx×x(9)

l(2x2y)2×x2y6x

x6xx226(11)

当且仅当x,即x29,即x3时取等号,(12)

此时yx4

AB3 mBC4 m时,能使整个框架用材料最少.(14)

18.(本题满分16分)已知椭圆C的离心率e,一条准线方程为x4P为准线上一动点,直线PF1PF2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F1F2为直径的圆O交于点MN.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)探究是否存在一定点恒在直线MN上?若存在,求出该点坐标;若不存在,请说明理由.

18.解:(1)由题意得4,解得c2a2

b2a2c24,所以椭圆的标准方程为1.

(2)(1)易知F1F24,所以圆O的方程为x2y24.

P(4t),则直线PF1方程为y(x2)

(t236)x24t2x4(t236)0

解得x1=-2x2=-

所以M

同理可得N.

MNx轴,则-,解得t212,此时点MN的横坐标都为1,故直线MN过定点(1,0)

MNx轴不垂直,即t212

此时kMN

所以直线MN的方程为

y

y(x1),所以直线MN过定点(1,0)

综上,直线MN过定点(1,0)

19.(本题满分16分)已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0,设是公比为q的等比数列的前三项,

I)若k=7 

i)求数列的前n项和Tn                                                     

ii)将数列的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列,设其前n项和为Sn,求的值

II)若存在m>k,使得成等比数列,求证k为奇数.

19. () 因为,所以成等比数列,又是公差的等差数列,

所以,整理得,又,所以

所以  …………3

①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为  …………6

因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列项的和,

所以.

     所以=1  …………11                 

() ,整理得

因为,所以所以. 

因为存在mk,mN*使得成等比数列,

所以    

又在正项等差数列{an}中,

所以,又因为

所以有          

因为是偶数,所以也是偶数,

为偶数,所以k为奇数.            …………16

20. (本小题满分16)

已知函数f(x)ax21g(x)x3bx,其中a0b0.

(1) 若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点P(2c)处有相同的切线(P为切点),求ab的值;

(2) h(x)f(x)g(x),若函数h(x)的单调递减区间为,求:

函数h(x)在区间(,-1]上的最大值M(a)

|h(x)|3,在x[20]上恒成立,求a的取值范围.

20. 解:(1) P(2c)为公共切点可得

f(x)ax21(a0),则f′(x)2axk14a

g(x)x3bx,则g′(x)3x2bk212b(2)

f(2)4a1g(2)82b(3)

解得ab5.(5)

(2) h(x)f(x)g(x)x3ax2bx1,则h′(x)3x22axb.

函数f(x)g(x)的单调递减区间为

x时,有3x22axb0恒成立.(6)

此时x=-是方程3x22axb0的一个根,

32ab0,得a24b(7)

h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1.

又函数h(x)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

() 若-1,即a2时,最大值为h(1)a(8)

() 若-<-1<-,即2a6时,最大值为h1(9)

() 若-1时,即a6时,最大值为h1.(10)

综上所述:

M(a)(11)

()可知h(x)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

h为极大值,h1h为极小值,h=-1.(13)

|f(x)g(x)|3,在x[20]上恒成立,

h(0)1

解得(15)

a的取值范围是42a6.(16)

第Ⅱ部分  附加题

满分40分,答卷时间30分钟

21.选做题:本大题共4小题,请从这4题中选做2小题,如果多做,则按所做的前两题记分.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.(几何证明选讲)如图,AB是圆O的直径,AC是弦,BAC的平分线AD交圆O于点DDEAC且交AC的延长线于点E.求证:DE是圆O的切线.

image description

A.证明:连结OD ODOA OADODA.

AD平分BAE OADEAD(3)

EADODA ODAE.(5)

AEDE DEOD(8)

OD为半径, DE是圆O的切线.(10)

B.(矩阵与变换) 已知点A在变换T作用后,再绕原点逆时针旋转90°,得到点B.若点B的坐标为(34),求点A的坐标.

B.解:.(4)

A(ab),则由,得(8)

所以A(23)(10)

C(极坐标与参数方程)已知在极坐标系下,圆Cρ2cos与直线lρsin,点M为圆C上的动点.求点M到直线l距离的最大值.

C.解:圆Cρ2cos,即ρ=-2sinθ,ρ2=-2ρsinθ,(2)

C的直角坐标方程为x2y2=-2y

x2(y1)21 圆心C(0,-1)(4)

直线lρsin,即ρsinθ+ρcosθ=2

直线l的直角坐标方程为xy2.(7)

圆心C到直线l的距离为d(9)

动点M到直线l距离的最大值为1.(10)

D.(不等式选讲)已知|x1||x1|4的解集为M,若abM,证明:2|ab||4ab|.

已知|x1||x1|4的解集为M,若abM,证明:2|ab||4ab|.

D.证明: |x1||x1|4,原不等式等价于

(2)

解得-2x<-1或-1x11x2(4)

4(ab)2(4ab)2=-a2b24a2164b2(a24)(4b2)

abM,即-2a2,-2b2 (a24)(4b2)0(8)

4(ab)2(4ab)2 2|ab||4ab|.(10)

证明: |x1||x1|4,原不等式等价于

(2)

解得-2x<-1或-1x11x2(4)

4(ab)2(4ab)2=-a2b24a2164b2(a24)(4b2)

abM,即-2a2,-2b2 (a24)(4b2)0(8)

4(ab)2(4ab)2 2|ab||4ab|.(10)

22(本小题满分10)某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:

类别

A

B

C

D

顾客人数()

20

30

40

10

时间t(分钟/)

2

3

4

6

注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率.

(1) 求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;

(2) X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.

22. 解:(1) Y表示银行工作人员办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下:

Y

2

3

4

6

P

A表示事件银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客,则事件A对应二种情形:

办理第一位业务所需的时间为2 min,且办理第二位业务所需的时间为3 min

办理第一位业务所需的时间为3 min钟,且办理第二位业务所需的时间为2 min

P(A)P(Y2)P(Y3)P(Y3)P(Y2)××.(3)

(2) X的取值为012

X0对应办理第一位业务所需的时间超过4 min

P(X0)P(Y4)(5)

X1对应办理第一位业务所需的时间2 min且办理第二位业务所需的时间超过2 min,或办理第一位业务所需的时间3 min或办理第一位业务所需的时间4 min

P(X1)P(Y2)P(Y2)P(Y3)(Y4)×.(6)

X2对应办理两位顾客业务时间均为2 min

P(X2)P(Y2)P(Y2)×.(7)

X的分布列为

X

0

1

2

P

(9)

E(X)0×1×2×.(10)

23.(本小题满分10分)已知函数f(x)x2lnx.

(1) 求函数f(x)在区间[1e]上的最大值、最小值;

(2) g(x)f′(x),求证:[g(x)]ng(xn)2n2(nN*)

23. (1) 解:由已知f′(x)x

x[1e]时,f′(x)0,所以函数f(x)在区间[1e]上单调递增,(2)

所以函数f(x)在区间[1e]上的最大、最小值分别为f(1)f(e)

因为f(1)f(e)1,所以函数f(x)在区间[1e]上的最大值为1、最小值为.(4)

(2) 证明:当n1时,不等式成立,(5)

n2时,[g(x)]ng(xn)

Cxn1Cxn2CxCxn2Cxn4C

.(9)

由已知x0,所以[g(x)]ng(xn)CCC2n2.(10)

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