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典型试题

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2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷

作者: 来源: 发布时间:2013年06月28日 点击数:

卷Ⅰ 必做题部分

一.填空题。

1.函数的最小正周期为          

2.设为虚数单位),则复数的模为         

3.双曲线的两条渐近线的方程为            

4.集合共有           个子集。

5.下图是一个算法的流程图,则输出的的值是        

6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:

运动员

1

2

3

4

5

87

91

90

89

93

89

90

91

88

92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为            

7.现在某类病毒记作,其中正整数)可以任意选取,则都取到奇数的概率为           

8.如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则           

9.抛物线处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界)。若点是区域内的任意一点,则的取值范围是          

10.设分别是的边上的点,,若 为实数),则的值为         

11.已知是定义在上的奇函数。当时,,则不等式的解集用区间表示为          

12.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为的距离为,若,则椭圆的离心率为      

13.在平面直角坐标系中,设定点是函数)图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为      

14.在正项等比数列中,,则满足的最大正整数 的值为             

二.解答题:

15.本小题满分14分。已知

1)若,求证:;(2)设,若,求的值。

16.本小题满分14分。

如图,在三棱锥中,平面平面,过,垂足为,点分别是棱的中点.

求证:(1)平面平面  2.

17.本小题满分14分。如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上。

1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;

2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围。

18.本小题满分16分。如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到。现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为。在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,

1)求索道的长;

2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

19.本小题满分16分。设是首项为,公差为的等差数列是其前项和。记,其中为实数。

1)若,且成等比数列,证明:);

2)若是等差数列,证明:

20.本小题满分16分。

设函数,其中为实数。

1)若上是单调减函数,且上有最小值,求的取值范围;

2)若上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论。

卷Ⅱ 附加题

[选做题]第21题,本题包括ABCD四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分。

如图,分别与圆相切于点经过圆心,且

求证:

21B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分。

已知矩阵,求矩阵

21.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题满分10分。

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 为参数),曲线C的参数方程为 为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。

21D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分。

已知0,求证:

[必做题]第2223题,每题10分,共20分。请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22.本小题满分10分。

如图,在直三棱柱中,,,,的中点

1)求异面直线所成角的余弦值

2)求平面所成二面角的正弦值。

23.本小题满分10分。

设数列,即当时,,记,对于,定义集合

1)求集合中元素的个数;  2)求集合中元素的个数。


参考答案

一、填空题

1    25     3   48    53   62  78  9

10     11        12     13     1412

二、解答题

15.解:(1)∵   

又∵

2)∵     

两边分别平方再相加得:        

16.证明:(1)∵F分别是SB的中点

EF分别是SASB的中点  EFAB

又∵EF平面ABC, AB平面ABC EF∥平面ABC

同理:FG∥平面ABC

又∵EFFG=F, EFFG平面ABC平面平面

2)∵平面平面

平面平面=BC

AF平面SAB

AFSB

AF⊥平面SBC  又∵BC平面SBC AFBC 

又∵, ABAF=A, ABAF平面SAB  BC⊥平面SAB又∵SA平面SABBCSA

17.解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为

∴圆的方程为:

显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即

或者

∴所求圆C的切线方程为:或者或者

2)解:∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4

则圆的方程为:

又∵∴设M为(x,y)则整理得:设为圆D

∴点M应该既在圆C上又在圆D   即:圆C和圆D有交点

终上所述,的取值范围为:

18.解:(1)∵

       

        根据

2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则

时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短。

3)由正弦定理m

乙从B出发时,甲已经走了502+8+1=550m),还需走710  m  才能到达C

设乙的步行速度为V ,

∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内

法二:解:1)如图作BDCA于点D

BD20k,则DC25kAD48k

AB52k,由AC63k1260m

知:AB52k1040m

2)设乙出发x分钟后到达点M

此时甲到达N点,如图所示

则:AM130xAN50(x2)

由余弦定理得:MN2AM2AN22 AM·ANcosA7400 x214000 x10000

其中0x8,当x(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短

3)由(1)知:BC500m,甲到C用时:(min)

若甲等乙3分钟,则乙到C用时:3 (min),在BC上用时: (min)

此时乙的速度最小,且为:500÷m/min

若乙等甲3分钟,则乙到C用时:3 (min),在BC上用时: (min)

此时乙的速度最大,且为:500÷m/min

故乙步行的速度应控制在[]范围内

19.证明:∵是首项为,公差为的等差数列是其前项和

1)∵ 

成等比数列     

        

∴左边=   右边=

∴左边=右边∴原式成立

2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:

 恒成立

由①式得:    

由③式得:

法二:证:(1)若,则

成等比数列,

即:,得:,又,故

由此:

故:

2

     ()

是等差数列,则

观察()式后一项,分子幂低于分母幂

故有:,即,而0

经检验,当是等差数列

20.解:(1)由恒成立,∴

而由1  

0,当0

上有最小值

1  

综上所述:的取值范围为

2)证明:∵上是单调增函数

恒成立,

而当时,        

分三种情况:

(Ⅰ)时, 0    fx)在上为单调增函数

    fx)存在唯一零点

(Ⅱ)当0时,0  fx)在上为单调增函数

00

fx)存在唯一零点

(Ⅲ)当0时,,令

∵当0时,0时,0

为最大值点,最大值为

①当时,有唯一零点

②当0时,0有两个零点

实际上,对于0,由于00

且函数在上的图像不间断  ∴函数上有存在零点

另外,当0,故上单调增,∴只有一个零点

下面考虑的情况,先证0

为此我们要证明:当时,,设  ,则,再设

1时,-20上是单调增函数

故当2时,0

从而上是单调增函数,进而当时,0

即当时,

0时,即e时,0

0  且函数上的图像不间断,

∴函数上有存在零点,又当时,0上是单调减函数∴函数只有一个零点

综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当时,的零点个数为1;当0时,的零点个数为2

21A证明:连接OD,∵ABBC分别与圆O相切于点DC

,又∵

    又∵BC=2OC=2OD   AC=2AD

21B 解:设矩阵A的逆矩阵为,=,即=

a=-1b=0c=0d=∴矩阵A的逆矩阵为,

==

21C解:∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 

同理得曲线C的普通方程为 

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为

21D证明:∵

又∵0,∴0,

22.本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力。

解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系

,,,

,

∴异面直线所成角的余弦值为

2 是平面的的一个法向量

设平面的法向量为,∵,

   ,得,∴平面的法向量为

设平面所成二面角为

, 得

∴平面所成二面角的正弦值为

23.本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。

1)解:由数列的定义得:

∴集合中元素的个数为5

2)证明:用数学归纳法先证

事实上,

          时,  故原式成立

          假设时,等式成立,即  故原式成立

则:,时,

综合①②得:  于是

由上可知:的倍数

,所以

的倍数

不是的倍数,

所以不是的倍数

故当时,集合中元素的个数为

于是当时,集合中元素的个数为

故集合中元素的个数为

 

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