南通市2013届高三第三次调研测试
数学试题
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1. 已知集合
,
,则
▲ .
【答案】
2. 设复数满足
(
是虚数单位),则复数
的模为 ▲ .
【答案】
3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ .
【答案】
4. “”是“
”成立的 ▲ 条件.(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中选择一个正确的填写)
【答案】必要不充分
5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆
机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布
直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动
车辆正常行驶速度为
【答案】
6. 在平面直角坐标系中,抛物线
上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为 ▲ .
【答案】4
7. 从集合中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ .
【答案】
8. 在平面直角坐标系
中,设点
为圆
:
上的任意一点,点
(2
,
) (
),则线段
长度的最小值为 ▲ .
【答案】
9. 函数,
,
在
上
的部分图象如图所示,则的值为 ▲ .
【答案】
10.各项均为正数的等比数列中,
.当
取最小值时,数列
的通项公式an= ▲ .
【答案】
11.已知函数是偶函数,直线
与函数
的图象自左向右依次交于四个不同点
,
,
,
.若
,则实数
的值为 ▲ .
【答案】
12.过点作曲线
:
的切线,切点为
,设
在
轴上的投影是点
,过点
再作曲线
的切线,切点为
,设
在
轴上的投影是点
,…,依次下去,得到第
个切点
.则点
的坐标为 ▲ .
【答案】
13.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB,
,CD
.若
,则
的值为 ▲ .
【答案】
14.已知实数a1,a2,a3,a4满足aa2
a3
,a1a42
a2a4
a2
,且a1
a2
a3,则a4的取值范围是 ▲ .
【答案】
二、解答题
15.如图,在四棱锥中,底面
是矩形,四条侧棱长均相等.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面平面
.
证明:(1)在矩形
中,
,
又平面
,
平面
,
所以平面
. ………6分
(2)如图,连结,交
于点
,连结
,
在矩形中,点
为
的中点,
又,
故,
, ………9分
又,
平面
,
所以平面
, ………12分
又平面
,
所以平面平面
. ………14分
16.在△ABC中,角,
,
所对的边分别为
,
,c.已知
.
(1)求角的大小;
(2)设,求T的取值范围.
解:(1)在△ABC中,
, ………3分
因为,所以
,
所以, ………5分
因为,所以
,
因为,所以
. ………7分
(2)
………11分
因为,所以
,
故,因此
,
所以. ………14分
17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为
的均匀介质,两侧的温度差为
,单位时间内,在单位面积上通过的热量
,其中
为热传导系数.
假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为
.)
(1)设室内,室外温度均分别为,
,内层玻璃外侧温度为
,外层玻璃内侧温度为
,且
.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用
,
及
表示);
(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计 的大小?
解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为,
,则
, ………2分
………6分
. ………9分
(2)由(1)知,
当4%时,解得
(mm).
答:当mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%. ………14分
18.如图,在平面直角坐标系中,椭圆
的右焦点为
,离心率为
.
分别过
,
的两条弦
,
相交于点
(异于
,
两点),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线,
的斜率之和为定值.
(1)解:由题意,得,
,故
,
从而,
所以椭圆的方程为. ① ………5分
(2)证明:设直线的方程为
, ②
直线的方程为
, ③ ………7分
由①②得,点,
的横坐标为
,
由①③得,点,
的横坐标为
, ………9分
记,
,
,
,
则直线,
的斜率之和为
………13分
. ………16分
19.已知数列是首项为1,公差为
的等差数列,数列
是首项为1,公比为
的等比数列.
(1)若,
,求数列
的前
项和;
(2)若存在正整数,使得
.试比较
与
的大小,并说明理由.
解:(1)依题意,,
&n, bsp; 故,
所以, ………3分
令, ①
则, ②
①②得,
,
,
所以. ………7分
(2)因为,
所以,即
,
故,
又, ………9分
所以
………11分
(ⅰ)当时,由
知
, ………13分
(ⅱ)当时,由
知
,
综上所述,当时,
;当
时,
;当
时,
.
………16分
(注:仅给出“时,
;
时,
”得2分.)
20.设是定义在
的可导函数,且不恒为0,记
.若对定义域内的每一个
,总有
,则称
为“
阶负函数”;若对定义域内的每一个
,总有
,则称
为“
阶不减函数”(
为函数
的导函数).
(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数
的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数
,使得
恒成立,试判断
是否为“2阶负函数”?并说明理由.
解:(1)依题意,在
上单调递增,
故 恒成立,得
, ………2分
因为,所以
. ………4分
而当时,
显然在
恒成立,
所以. ………6分
(2)①先证:
若不存在正实数,使得
,则
恒成立. ………8分
假设存在正实数,使得
,则有
,
由题意,当时,
,可得
在
上单调递增,
当时,
恒成立,即
恒成立,
故必存在,使得
(其中
为任意常数),
这与恒成立(即
有上界)矛盾,故假设不成立,
所以当时,
,即
; ………13分
②再证无解:
假设存在正实数,使得
,
则对于任意,有
,即有
,
这与①矛盾,故假设不成立,
所以无解,
综上得,即
,
故所有满足题设的都是“2阶负函数”. ………16分
南通市2013届高三第三次调研测试
数学附加题参考答案及评分建议
21.【选做题】
A.选修4—1:几何证明选讲
如图,⊙
的半径为3,两条弦
,
交于点
,且
,
,
.
求证:△≌△
.
证明:延长交⊙
与点
,
, ………2分
由相交弦定理得
,
………6分
又,
,
故,
, ………8分
所以,
,
而,
所以△≌△
. ………10分
B.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵不存在逆矩阵,求实数
的值及矩阵
的特征值.
解:由题意,矩阵的行列式
,解得
, ………4分
矩阵的特征多项式
, ………8分
令并化简得
,
解得或
,
所以矩阵的特征值为0和11. ……10分
C.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知
,
,
,
,其中
.设直线
与
的交点为
,求动点
的轨迹的参数方程(以
为参数)及普通方程.
解:直线的方程为
, ①
直线的方程为
, ② ………2分
由①②解得,动点的轨迹的参数方程为
(
为参数,且
), ………6分
将平方得
, ③
将平方得
, ④ ………8分
由③④得,. ………10分
(注:普通方程由①②直接消参可得.漏写“”扣1分.)
D.选修4—5:不等式选讲
已知,
,
.求证:
.
证明:先证,
只要证,
即要证,
即要证, ………5分
若,则
,
,所以
,
若,则
,
,所以
,
综上,得.
从而, ………8分
因为,
所以. ………10分
22.【必做题】
设且
,证明:
.
证明:(1)当时,有
,命题成立. ………2分
时,命题成立,
即
成立, ………4分
那么,当时,有
.
+
.
所以当时,命题也成立. ………8分
根据(1)和(2),可知结论对任意的且
都成立. ………10分
23.【必做题】
下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转盘面积的,
,
,
.游戏规则如下:
① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分100分,40分,10分,0分;
② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分,则按①获得相应的积分,游戏结束;
(ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是40分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积分不高于40分,则最终积分为0分,否则最终积分为100分,游戏结束.
设某人参加该游戏一次所获积分为
.
(1)求的概率;
(2)求的概率分布及数学期望.
解:(1)事件“”包含:“首次积分为0分”和“首次积分为40分
后再转一次的积分不高于40分”,且两者互斥,
所以; ………4分
(2)的所有可能取值为0,10,40,100,
由(1)知,
又,
,
,
所以的概率分布为:
|
0 |
10 |
40 |
100 |
|
|
|
|
|
………7分
因此,(分).………10分