南通市2013届高三第三次调研测试
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 已知集合，
，则 ▲ ．
【答案】
2． 设复数满足
（是虚数单位），则复数的模为 ▲ ．
【答案】
3． 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ．
【答案】
4． “
”是“”成立的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）
【答案】必要不充分
5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆
机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布
直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动
车辆正常行驶速度为
【答案】
6． 在平面直角坐标系
中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．
【答案】4
7． 从集合
中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．
【答案】
8． 在平面直角坐标系中，设点
为圆：
上的任意一点，点(2
，
) ()，则线段
长度的最小值为 ▲ ．
【答案】
9． 函数
，
，在
上
的部分图象如图所示，则
的值为 ▲ ．
【答案】
10．各项均为正数的等比数列中，
．当取最小值时，数列的通项公式an= ▲ ．
【答案】
11．已知函数是偶函数，直线
与函数
的图象自左向右依次交于四个不同点，
，，．若
，则实数的值为 ▲ ．
【答案】
12．过点作曲线：
的切线，切点为，设在
轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为
，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第
个切点
．则点的坐标为 ▲ ．
【答案】
13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB
，，CD
．若，则
的值为 ▲ ．
【答案】
14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a
a2a3，a1a42a2a4
a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是 ▲ ．
【答案】
二、解答题
15．如图，在四棱锥
中，底面是矩形，四条侧棱长均相等．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面平面．
证明：（1）在矩形中，，
又
平面，
平面，
所以平面． ………6分
（2）如图，连结
，交于点
，连结，
在矩形中，点为
的中点，
又，
故
，， ………9分
又
，
平面，
所以平面， ………12分
又
平面，
所以平面平面． ………14分
16．在△ABC中，角，，所对的边分别为，
，c．已知
．
（1）求角的大小；
（2）设，求T的取值范围．
解：（1）在△ABC中，
， ………3分
因为，所以
，
所以， ………5分
因为
，所以，
因为
，所以
． ………7分
（2）
………11分
因为，所以
，
故
，因此，
所以
． ………14分
17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为
，单位时间内，在单位面积上通过的热量
，其中为热传导系数．
假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为
，空气的热传导系数为．）
（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为
，外层玻璃内侧温度为，且
．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用，及表示）；
（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 的大小？
解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为
，，则
， ………2分
………6分
． ………9分
（2）由（1）知
，
当4%时，解得
（mm）．
答：当mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分
18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为
，离心率为
．
分别过，
的两条弦，相交于点（异于，两点），且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．
（1）解：由题意，得，
，故，
从而
，
所以椭圆的方程为
． ① ………5分
（2）证明：设直线的方程为， ②
直线的方程为
， ③ ………7分
由①②得，点，的横坐标为，
由①③得，点，的横坐标为
， ………9分
记，
，
，
，
则直线，的斜率之和为
………13分
． ………16分
19．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列
是首项为1，公比为的等比数列．
（1）若
，
，求数列的前
项和；
（2）若存在正整数，使得
．试比较
与的大小，并说明理由．
解：（1）依题意，
，
&n, bsp; 故，
所以
， ………3分
令， ①
则
， ②
①②得，，
，
所以． ………7分
（2）因为，
所以
，即，
故
，
又
， ………9分
所以
………11分
（ⅰ）当
时，由知
， ………13分
（ⅱ）当
时，由知
，
综上所述，当时，；当时，
；当时，
．
………16分
（注：仅给出“时，；时，”得2分．）
20．设是定义在
的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有
，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（
为函数
的导函数）．
（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数
，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．
解：（1）依题意，
在上单调递增，
故 恒成立，得
， ………2分
因为，所以
． ………4分
而当时，显然在恒成立，
所以． ………6分
（2）①先证
：
若不存在正实数
，使得，则
恒成立． ………8分
假设存在正实数，使得，则有，
由题意，当时，
，可得在上单调递增，
当
时，恒成立，即
恒成立，
故必存在，使得
（其中为任意常数），
这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当时，，即； ………13分
②再证
无解：
假设存在正实数
，使得，
则对于任意
，有，即有
，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以无解，
综上得
，即，
故所有满足题设的都是“2阶负函数”． ………16分
南通市2013届高三第三次调研测试
数学附加题参考答案及评分建议
21．【选做题】
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙的半径为3，两条弦，交于点，且， 
，．
求证：△
≌△
．
证明：延长交⊙与点，， ………2分
由相交弦定理得
，
………6分
又，，
故，
， ………8分
所以，
，
而
，
所以△≌△． ………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵
不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值．
解：由题意，矩阵的行列式，解得
， ………4分
矩阵
的特征多项式
， ………8分
令
并化简得，
解得
或，
所以矩阵的特征值为0和11． ……10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知
，，
，
，其中．设直线与
的交点为，求动点的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．
解：直线的方程为
， ①
直线的方程为， ② ………2分
由①②解得，动点的轨迹的参数方程为
（为参数，且）， ………6分
将平方得
， ③
将
平方得， ④ ………8分
由③④得，
． ………10分
（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“”扣1分．）
D．选修4—5：不等式选讲
已知
，，
．求证：．
证明：先证
，
只要证，
即要证
，
即要证， ………5分
若
，则
，，所以，
若
，则，
，所以，
综上，得．
从而， ………8分
因为
，
所以． ………10分
22．【必做题】
设且
，证明：
．
证明：（1）当
时，有，命题成立． ………2分
时，命题成立，
即
成立， ………4分
那么，当时，有
．
+
．
所以当时，命题也成立． ………8分
根据（1）和（2），可知结论对任意的且都成立． ………10分
23．【必做题】
下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，
，
，．游戏规则如下：
① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；
② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；
（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．
设某人参加该游戏一次所获积分为．
（1）求
的概率；
（2）求的概率分布及数学期望．
解：（1）事件“”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分
后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，
所以
； ………4分
（2）的所有可能取值为0，10，40，100，
由（1）知，
又
，
，
，
所以的概率分布为：
|
|
0 |
10 |
40 |
100 |
|
|
|
|
|
|
………7分
因此，
（分）．………10分
