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典型试题

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南通市2013届高三第三次调研测试

作者: 来源: 发布时间:2013年06月28日 点击数:

数学试题

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

 1 已知集合,则     

    答案

2 设复数满足是虚数单位),则复数的模为     

    答案

3 右图是一个算法流程图,则输出的的值是     

    答案

4 ”是“”成立的      条件.(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中选择一个正确的填写)

答案必要不充分

5 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100

    机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布

    直方图如右图所示该路段限速标志牌提示机动

车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h,则该时段内非正常行驶的机动车辆数为     

答案

6 在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为     

答案4

7 从集合中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为     

答案

8 在平面直角坐标系中,设点为圆上的任意一点,点(2) (),则线段长度的最小值为     

答案

9 函数

的部分图象如图所示,则的值为     

答案

10各项均为正数的等比数列中,取最小值时,数列的通项公式an=     

    答案

11已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点,则实数的值为     

答案

12过点作曲线的切线,切点为,设轴上的投影是点,过点再作曲线的切线,切点为,设轴上的投影是点,…,依次下去,得到第个切点.则点的坐标为     

答案

13在平面四边形ABCD中,点EF分别是边ADBC的中点,且ABCD,则的值为     

答案

14已知实数a1a2a3a4满足a1a2a3a1a42a2a4a2,且a1a2a3,则a4的取值范围是     

    答案

二、解答题

15如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等

    1)求证:平面

    2)求证:平面平面

    证明:(1)在矩形中,

              平面

              平面

              所以平面        ………6

         2)如图,连结,交于点,连结

              在矩形中,点的中点,

             

                                       ………9

             

              平面

              所以平面                               ………12

              平面

              所以平面平面                       ………14

16ABC中,角所对的边分别为c已知

    1)求的大小;

2)设,求T的取值范围.

1ABC中,

                   ………3

            因为,所以

            所以   ………5

            因为,所以

            因为,所以                        ………7 

       2

             

,

                                   ………11

            因为,所以

            ,因此

            所以                              ………14

17某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为的均匀介质,两侧的温度差为,单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.

假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为.)

1室内,室外温度均分别为,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为,且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用表示);

    2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计 的大小

            

   

   

   

   

   

   

   

    :(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为,则                                ………2

                             ………6

               

               

                                                             ………9

    2)由(1)知

         4%时,解得mm

         答:当mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%       ………14

 

18如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为

分别过的两条弦相交于点(异于两点),且

1)求椭圆的方程;

2)求证:直线的斜率之和为定值

    1由题意,得,故

             从而

             所以椭圆的方程为                                          ………5

    2证明:设直线的方程为      

           直线的方程为                  ………7

           由①得,点的横坐标为

           由①得,点的横坐标为      ………9

          

           则直线的斜率之和为

          

          

                                        ………13

           

                                               ………16

19已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列

    1)若,求数列的前项和;

2)若存在正整数,使得.试比较的大小,并说明理由

:(1)依题意,

  &n, bsp;    

            所以                     ………3

                    

         

            ②得,

                     

                     

            所以                     ………7

   2)因为

        所以,即

       

                                             ………9

        所以

                 

                  ………11

(ⅰ)当时,由

                 

                       

                       

                                                    ………13

             (ⅱ)当时,由

              

                    

                     

                    

           综上所述,当时,;当时,;当时,

                                                             ………16

(注:仅给出“时,时,”得2

20是定义在的可导函数,且不恒为0,记若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”为函数的导函数).

1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;

2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是否为“2阶负函数”?并说明理由

    :(1)依题意,上单调递增,

             恒成立,得                       ………2

            因为,所以                                            ………4

            而当时,显然在恒成立,

            所以                                                       ………6

   2先证

          若不存在正实数,使得,则恒成立.             ………8

          假设存在正实数,使得,则有

          由题意,当时,,可得上单调递增,

          时,恒成立,即恒成立,

          故必存在,使得(其中为任意常数),

          这与恒成立(即有上界)矛盾,故假设不成立,

          所以当时,,即                          ………13

        再证无解:

          假设存在正实数,使得

          则对于任意,有,即有

          这与①矛盾,故假设不成立,

          所以无解,

          综上得,即

          故所有满足题设的都是“2阶负函数”        ………16

南通市2013届高三第三次调研测试

数学附加题参考答案及评分建议

21【选做题】

A.选修41几何证明选讲

    如图,的半径为3,两条弦交于点,且

    证:△≌△

    证明:延长与点                  ………2

          由相交弦定理得

         

                                            ………6

         

                                            ………8

          所以

         

          所以△≌△                             ………10

B.选修42矩阵与变换

   已知矩阵不存在逆矩阵,求实数的值及矩阵的特征值.

   :由题意,矩阵的行列式,解得               ………4

   矩阵的特征多项式

            ………8

   并化简得

   解得                                              

       所以矩阵的特征值为011                        ……10

C.选修44坐标系与参数方程

   在平面直角坐标系中,已知,其中.设直线

   的交点为,求动点的轨迹的参数方程(以为参数)及普通方程.

   :直线的方程为          

       直线的方程为                               ………2

       由①②解得,动点的轨迹的参数方程为为参数,且),    ………6

   平方得    

   平方得                                      ………8

   由③④得,                        ………10

      (注:普通方程由①②直接消参可得.漏写“”扣1分.)

D.选修45不等式选讲

    已知.求

    证明:先证

          只要证

          即要证

          即要证                        ………5

          ,则,所以

          ,则,所以

          综上,得

          从而                                  ………8

          因为

          所以                             ………10

       

22【必做题】

    证明:

证明:(1)当时,有,命题成立.       ………2

     2假设当时,命题成立,

         

              成立,                                   ………4

              那么,当时,有

             

             

                

              +

                 

            所以当时,命题也成立.                      ………8

            根据(1)和(2,可知结论对任意的都成立   ………10

   

23【必做题】

下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转盘面积的

.游戏规则如下:

当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分100分,40分,10分,0分;

② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分,则按获得相应的积分,游戏结束;

   (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是40分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积分不高于40分,则最终积分为0分,否则最终积分为100分,游戏结束.

设某人参加该游戏一次所获积分为

1)求的概率;

    2)求的概率分布及数学期望.

    1)事件“”包含:“首次积分为0分”和“首次积分为40

            后再转一次的积分不高于40,且两者互斥,

            所以           ………4

       2的所有可能取值为01040100

            由(1)知

            

           

           

            所以的概率分布为:

0

10

40

100

………7

             因此,(分).………10

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